最近笔者在读有关Graph Transformer中有关tokenize的相关论文时，读到一篇采用page rank做的相关工作。虽然这个算法很有名而且也并不是很复杂，但笔者在此之前并没有了解过，只是知道有这么一个东西。好在现在有强大的LLM，可以很快速的向我进行详细解释算法的具体内容，于是便有了这篇Blog进行存档。

1. 算法简介

PageRank是由Google的创始人Larry Page和Sergey Brin于1996年在斯坦福大学开发的一种链接分析算法，用于衡量网页的相对重要性。PageRank算法通过分析网页之间的链接关系来确定网页的权威性和重要性值。

算法基本思想

PageRank的核心思想基于一个简单的假设：一个网页的重要性可以通过指向它的链接数量和质量来衡量。就像学术引用中，被大量高质量论文引用的研究论文通常更为重要一样，被许多重要网页链接的网页也应该更加重要。

2. 数学公式与推导

2.1 基本数学公式

PageRank的基本数学公式如下：

其中：

  • PR(A)：页面A的PageRank值
  • d：阻尼系数（damping factor），通常设置为0.85
  • T1...Tn：所有指向页面A的页面
  • C(Ti)：页面Ti的出链数量
  • 1-d：随机跳转概率

2.2 完整PageRank公式

考虑随机游走模型，完整的PageRank公式可以表示为：

其中：

  • N：网页总数
  • PR(pⱼ)：页面pⱼ的PageRank值
  • L(pⱼ)：页面pⱼ的出链数量
  • ∑：对所有链接到页面pᵢ的页面求和

2.3 矩阵表示

PageRank可以用线性代数的形式表示：

其中：

  • R：PageRank向量
  • M：转移矩阵（adjacency matrix）
  • v：单位向量
  • d：阻尼系数
  • N：页面总数

3. 随机游走（Random Walk）的作用

3.1 随机游走模型

PageRank算法基于随机游走模型（Random Walk），该模型可以这样理解：
想象一个随机上网者，他按照以下规则上网：

  1. 85%的时间，他点击当前页面的链接继续浏览
  2. 15%的时间，他随机跳转到其他页面

3.2 随机游走的数学原理

在随机游走框架下，PageRank值代表：

  • 长期访问概率：一个随机访问者在经过足够长时间的访问后，停留在某个页面的概率
  • 马尔可夫链稳态分布：PageRank是马尔可夫链的稳态分布

数学推导过程

  1. 定义转移概率：

    • 从页面i到页面j的转移概率为 P(i→j) = 1/L(i)（如果存在链接）
    • 随机跳转概率为 (1-d)/N

  2. 转移矩阵构造：

    其中：

    • A：原始转移矩阵
    • B：随机跳转矩阵
    • d：阻尼系数

  3. 求解稳态分布：
    通过求解 R = M * R 得到PageRank向量

3.3 随机游走的重要性

随机游走模型解决了以下问题：

  1. 避免死循环：通过随机跳转防止算法陷入无限循环
  2. 处理无出链页面：确保每个页面都能被访问到
  3. 保证收敛性：利用马尔可夫链的收敛性定理确保算法稳定

4. 算法的实际应用步骤

4.1 迭代计算方法

PageRank通常通过迭代计算来求解：

  1. 初始化：所有页面的PageRank值设为1/N
  2. 迭代更新：
  3. 收敛判断：当相邻两次迭代的变化小于设定阈值时停止

4.2 Python实现示例

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import numpy as np

def pagerank(M, d=0.85):
    """PageRank算法实现"""
    N = M.shape[1]
    w = np.ones(N) / N  # 初始概率分布
    M_hat = d * M + (1-d) / N  # Google矩阵
    v = M_hat @ w + (1-d)/N
  
    # 迭代直到收敛
    while np.linalg.norm(w - v) >= 1e-10:
        w = v
        v = M_hat @ w + (1-d)/N
  
    return v

5. 算法特性与优势

5.1 主要特性

  1. 自引用处理：页面不引用自己的链接
  2. 等值分配：一个页面的PageRank平均分配给所有出链
  3. 阻尼效应：阻尼系数决定了链接传递的效率

5.2 算法优势

  1. 权威性评估：能识别真正权威的网页
  2. 可扩展性：可处理大规模网络结构
  3. 数学严谨性：基于坚实的数学理论基础

6. 实际应用与扩展

6.1 在搜索引擎中的应用

  • Google搜索：PageRank是Google早期最重要的排名算法之一
  • 结果排序：结合其他因素进行综合排名

6.2 扩展应用

  1. 社交网络分析：评估用户影响力
  2. 学术引用分析：论文重要性评估
  3. 推荐系统：基于图结构的推荐
  4. 生物信息学：蛋白质网络分析

6.3 现代搜索引擎的演变

虽然PageRank是Google早期的核心算法，但现在的搜索引擎已经结合了数百种因素，包括：

  • 内容相关性
  • 用户行为数据
  • 语义理解
  • 个性化搜索

7. 总结

PageRank算法的伟大之处在于：

  1. 简洁而深刻：用简单的数学概念解决了复杂的问题
  2. 理论基础扎实：基于图论和马尔可夫链的严格数学推导
  3. 实际效果显著：极大地改善了搜索引擎的搜索质量
  4. 影响深远：开创了链接分析的新领域

PageRank不仅是一个算法，更是一种思考网络结构重要性的全新视角，其影响力已经远远超出了搜索引擎的范畴，成为现代网络分析的重要基础。

参考资料

  1. Wikipedia: PageRank
  2. Cornell大学讲座: The Mathematics of Google Search
  3. Medium: PageRank Algorithm Explained
  4. MIT课程资料: Random Walks & PageRank